NCERT Class 8 Mathematics (Hindi Medium - गणित) Solutions
Chapter 2: Linear Equations in One Variable (Hindi Medium)
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Class 8 Maths Chapter 2 Hindi Medium घातों का खेल
Class 8 Maths Chapter 2 Question Answer in Hindi
कक्षा 8 गणित अध्याय 2 प्रश्न उत्तर घातों का खेल
गणित चर्चा (पृष्ठ 20)
आपके विचारानुसार कागज को 30 बार मोड़ने के पश्चात कागज की मोटाई क्या होनी चाहिए? इसे 45 बार मोड़ने के पश्चात मोटाई क्या होनी चाहिए? एक अनुमान लगाइए।
हल:
लगभग 10 कि.मी. और लगभग 340000 कि.मी.।
नीचे दी गई तालिका को पूर्ण कीजिए।
हल:
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 22)
(-1)5 का मान क्या होगा? यह संख्या धनात्मक है। या ऋणात्मक ? (-1)56 के विषय में आपका क्या विचार है?
हल:
यह 1 है। ऋणात्मक। यह धनात्मक 1 है।
क्या (-2)4 = 16 होता है? सत्यापित कीजिए।
हल:
हाँ, (−2) × (-2) × (2) × (2) = + 16 है।
02 एवं 05 के मान क्या हैं?
हल:
0 और 0 हैं।
0n का मान क्या है?
हल:
0 है।
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 23)
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) y × y
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल:
(i) 64,
(ii) y2,
(iii) b4,
(iv) 52 × 73,
(v) 22 × a2,
(vi) a3 × c4 × d
नीचे दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन कीजिए तथा इन्हें चरघातांकी (घातांकी) रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल:
(i) 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 23 × 34
(ii) 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 34 × 5
(iii) 540 = 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 5
= 33 × 22 × 5
(iv) 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 24 × 32 × 52
नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजकों का संख्यात्मक मान लिखिए।
(i) 2 × 103
(ii) 72 × 23
(iii) 3 × 44
(iv) (-3)2 × (-5)2
(v) 32 × 104
(vi) (-2)5 × (-10)6
हल:
(i) 2 × 103 = 2 × 1000 = 2000 है।
(ii) 72 × 23 = 49 × 8 = 392 है।
(iii) 3 × 44 = 3 × 256 = 768 है।
(iv) (-3)2 × (-5)2 = (-3 × -5)2 = 152 = 225 है।
(v) 32 × 104 = 9 × 10000 = 90000 है।
(vi) (-2)5 × (-10)6 = -32 × 1000000 = -32000000 है।
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 25)
निम्नलिखित व्यंजकों को कम-से-कम दो विधियों से घात की घात के रूप में लिखिए।
(i) 86 (ii) 715 (iii) 914 (iv) 58
हल:
(i) 86 = (82)3 और 86 = (83)2 है।
(ii) 715 = (73)5 और 715 = (75)3 है।
(iii) 914 = (92)7 और (97)2 है।
(iv) 58 = (54)2 और (52)4 है।
कमल के फूलों की संख्या (घातांकी रूप में) लिखिए जब तालाब- (i) पूर्ण भरा हो (ii) आधा भरा हो
हल:
(i) 230
(ii) 29
को सरल कीजिए और इसे घातांकी रूप में लिखिए।
हल:
=
= 2 × 2 × 2 × 2
= 24 है।
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 26)
रॉक्सी के पास 7 वेशभूषा, 2 टोपी और 3 जोड़ी जूते हैं। रॉक्सी इन्हें कितने प्रकार से पहन कर सुसज्जित हो सकती है?
[संकेत: उपर्युक्त चित्र की भांति एक अन्य चित्र बनाने का प्रयास कीजिए।]
हल:
उन्होंने कितने गुप्त संकेतों (पासवर्ड) की जाँच की ?
हल:
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105 = 100000 गुप्त संकेत (पासवर्ड), क्योंकि कुल अंक 10 हैं (0, 1, 2, 3, ….., 9)।
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 27)
ऐसे ताले के कितने गुप्त संकेत संभव हैं?
हल:
26 × 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 266,
क्योंकि कुल अक्षर = 26 हैं।
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 27)
विचार कीजिए कि अलग-अलग संदर्भों में कितने संयोजन संभव हैं। इस संदर्भ में कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं-
(i) भारत में स्थानों के पिनकोड-मध्यप्रदेश में विदिशा का पिनकोड 464001 है। मिजोरम में जेमाबाक का पिनकोड 796017 है।
(ii) मोबाइल संख्या
(iii) वाहन पंजीकरण संख्या
यह समझने का प्रयास कीजिए कि संख्याएँ या कोड कैसे आवंटित किए जाते हैं।
हल:
नोट: निर्देशानुसार कीजिए।
पृष्ठ 28
2 की घात में 2100 ÷ 225 क्या होगा?
व्यापकीकृत रूप में
na ÷ nb= na – b
जहाँ n ≠ 0 और a तथा b गणन संख्याएँ है और a > b
हल:
2100 ÷ 225 = 2100 – 25 = 275 है।
गणित चर्चा (पृष्ठ 28)
n शून्य क्यों नहीं हो सकता?
हल:
na ÷ n6 के लिए n शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि 0 से विभाजन परिभाषित नहीं (संभव नहीं) है।
पृष्ठ 29
हमें a और b गणन संख्या लेने की आवश्यकता थी। क्या a और b कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं? क्या व्यापकीकृत रूप अभी भी सत्य होगा?
हल:
हाँ हाँ।
निम्नलिखित के समतुल्य रूप लिखिए।
(i) 2-4
(ii) 10-5
(iii) (-7)-2
(iv) (-5)-3
(v) 10-100
हल:
(i) 2-4 = ,
(ii) 10-5 = ,
(iii) (-7)-2 = ,
(iv) (-5)-3 = ,
(v) 10-100 = , है।
नीचे दिए गए प्रश्नों को हल कीजिए एवं उत्तरों को घातांकी रूप में लिखिए।
(i) 2-4 × 27
(ii) 32 × 3-5 × 36
(iii) p3 × p-10
(iv) 24 × (-4)-2
(v) 8p × 8q
हल:
(i) 2-4 × 27 = = 27 – 4 = 23 है।
(ii) 32 × 3-5 × 36 = × 36 = 33 + 6 – 5 = 33 है।
(iii) p3 × p-10 = p3 – 10 = p-7 है।
(iv) 24 × (-4)-2 = 24 × (-22)-2
= 24 × (-2)-4
= = = 1 है।
(v) 8p × 8q = 8p + q है।
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 30)
42, 4-2 से कितने गुना बड़ा है?
हल:
4-2 ÷ 42 = 42 + 2 = 44 = 256 गुना बड़ा
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए 7 की घात रेखा का उपयोग कीजिए।
हल:
पृष्ठ 31
इन संख्याओं को उपर्युक्त विधि से लिखिए:
(i) 172,
(ii) 5642,
(iii) 6374
हल:
(i) 172 = 1 × 102 + 7 × 101 + 2 × 100
(ii) 5642 = 5 × 103 + 6 × 102 + 4 × 101 + 2 × 100
(iii) 6374 = 6 × 103 + 3 × 102 + 7 × 101 + 4 × 100
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 33)
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i) 59,853
(ii) 65,950
(iii) 34,30,000
(iv) 70,04,00,00,000
हल:
(i) 59,853 = 5.9853 × 104
(ii) 65,950 = 6.5950 × 104 6.595 × 104
(iii) 34,30,000 = 3.430000 × 106 = 3.43 × 106
(iv) 70,04,00,00,000 = 7.0040000000 × 1010
= 7.004 × 1010
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 34)
रॉक्सी विचार करती है, “यदि हम गुड़ के स्थान पर 1 रुपए के सिक्के प्रयोग करें तो मेरे भार के समान कितने सिक्कों की आवश्यकता होगी?” बताइए हम यह किस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं?
हल:
हमें रॉक्सी और एस्तु के भारों के भार के बराबर पृथक-पृथक सिक्कों की संख्याएँ ज्ञात करनी चाहिए।
- अनुमान – किसी गणना के बिना सहज अनुमान लगाइए कि उत्तर क्या हो सकता है।
- अनुमान और सन्निकटन का उपयोग करके गणना कीजिए।
उत्तर ज्ञात करने के लिए आवश्यक राशियों के मध्य संबंधों का वर्णन कीजिए।
यदि आवश्यक जानकारी उपलब्ध न हो तो संभावित अभिधारणाएँ और सन्निकटन बनाइए।
गणना करके उत्तर ज्ञात कीजिए एवं जाँचिए कि आपका आकलन कितना सटीक है।
क्या सिक्कों की संख्या सैकड़ों हजारों लाखों, करोड़ों या उससे भी अधिक होगी? सहज अनुमान लगाइए।
हल:
हजारों में।
एक रुपये के सिक्के का भार आप किस प्रकार ज्ञात करेंगे?
हल:
एक रुपये के सिक्के का भार हम एक तुला तथा गेहूँ और गुड़ जैसी वस्तुओं का उपयोग करते हुए ज्ञात करेंगे।
पाठगत प्रश्न (पृष्ठ 38 – 39)
गणना कीजिए और वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए अपना उत्तर लिखिए।
(i) विश्व में प्रत्येक मानव पर कितनी चींटियाँ हैं?
(ii) यदि मैना के एक झुंड में 10,000 पक्षी हैं तो विश्व में मैना के कितने झुंड होंगे?
(iii) यदि प्रत्येक वृक्ष पर लगभग 104 पत्तियाँ हों तो विश्व में सभी वृक्षों पर कुल पत्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) यदि आप कागज को एक के ऊपर एक रखें तो चंद्रमा तक पहुँचने के लिए आपको कितने कागजों की आवश्यकता होगी?
हल:
(i) 2 × 1016 ÷ 8.2 × 109 = × 107
= × 107
= × 107 चींटियाँ
= 0.2439 × 107
= 2.439 × 106 चींटियाँ
(ii) झुंडों की संख्या = 1.3 × 109 ÷ 10000
= 1.3 × 105 है।
(iii) पत्तियों की संख्या = 3 × 1012 × 104
= 3 × 1016 है।
(iv) कागज के 26 मोड़ (226 – 1)2 = (225)2
= 250 कागज
यदि आप 10 लाख सेकंड तक जीवित रहें तो आपकी आयु कितनी होगी?
हम कुछ घटनाओं और परिघटनाओं के सन्निकट समय और समय-सीमा पर विचार करेंगे तथा इन राशियों को दर्शाने और तुलना करने के लिए 10 की घातों का उपयोग करेंगे।
हल:
= लगभग 11.6 दिन = 12 दिन (अनुमानित)
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 42)
गणना कीजिए और वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए उत्तर लिखिए।
(i) यदि एक तारे की गणना में 1 सेकंड का समय लगता है तो इस ब्रह्मांड में स्थित सभी तारों की गणना में कितना समय लगेगा? वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए उत्तर को सेकंड की संख्या के रूप में लिखिए।
(ii) यदि एक व्यक्ति एक गिलास पानी (200 मिलीलीटर) 10 सेकंड में पीता है तो पृथ्वी पर उपलब्ध संपूर्ण पानी को पीने में उसे कितना समय लगेगा?
हल:
(i) 2 × 1023 सेकंड
(ii) 2 × 1025 × 16 मि.ली. = संपूर्ण पानी
अतः. = वाँछित समय
= सेकंड
= 16 × 1023 × 10 सेकंड
= 16 × 1024 सेकंड
= 1.6 × 1025 सेकंड
आइए, पता लगाएँ (पृष्ठ 44 – 45)
2224 ÷ 432 के मान में इकाई अंक को ज्ञात कीजिए ? [संकेत : 4 = 22]
हल:
2224 ÷ 432 = 2224 ÷ (22) 32
= 2224 ÷ 264 = 2224 – 64 = 2160हैं।
अब 21, 25, 29, …, 24n – 3 के इकाई के अंक 2 हैं,
22, 26, 210,…, 24n – 2 के इकाई के अंक 4 हैं,
23, 27, 211, …, 24n – 1 के इकाई के अंक 8 हैं,
और 24, 28, 212, …, 24n के इकाई के अंक 6 हैं।
साथ ही 2160 का रूप 24(40) प्रकार का है (अर्थात, इसका रूप 24n प्रकार का है)।
अत:, 2160 की इकाई का अंक 6 होगा।
इसलिए इकाई का वाँछित अंक 6 है।
एक बक्से में 5 बोतलें हैं। प्रत्येक दिन एक नया बक्सा लाया जाता है। 40 दिन के पश्चात वहाँ कितनी बोतलें होंगी?
हल:
बोतलों की संख्या 5 + 5 + 5 + 40 बार = 5 × 40 = 200 है।
नीचे दी गई संख्या को दो या दो से अधिक घातों के गुणनफल के रूप में तीन भिन्न-भिन्न प्रकारों से लिखिए। घातें कोई भी पूर्णांक हो सकती हैं।
(i) 643 (ii) 1928 (iii) 3-5
हल:
(i) 643 = (82)3 = 86; 643 = (43)3 = 49; 643 = (26)3 = 218 है।
(ii) 1928 = (43 × 3)8 = 424 × 38; 1928 = 416 × 48 × 38 = 416 × 128; 1928 = (26 × 3)8 = 248 × 38 है।
(iii) 32-5 = (25)-5 = 2-25, 32-5 = (8 × 4 )-5 = 8-5 × 4-5; 32-5 = (16 × 2)-5 = 16-5 × 2-5 है।
नीचे दिए गए प्रत्येक कथन की जाँच कीजिए और पता लगाइए कि ‘यह सदैव सत्य है’, ‘कभी-कभी सत्य है’ या ‘कभी सत्य नहीं है। अपने तर्क की व्याख्या कीजिए।
(i) घन संख्याएँ भी वर्ग संख्याएँ होती हैं।
(ii) चतुर्थ घात वर्ग संख्याएँ भी होती हैं।
(iii) किसी संख्या की पाँचवी घात उस संख्या के घन से विभाज्य होती है।
(iv) दो घन संख्याओं का गुणनफल एक घन संख्या होती है।
(v) q46 एक चतुर्थ घात और एक छठी घात दोनों हैं (q एक अभाज्य संख्या है)।
हल:
(i) कभी-कभी सत्य है
(ii) यह सदैव सत्य है
(iii) यह सदैव सत्य है
(iv) यह सदैव सत्य है
(v) कभी सत्य नहीं है
इन्हें सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए।
(i) 10-2 × 10-5
(ii) 57 ÷ 54
(iii) 9-7 ÷ 94
(iv) (13-2)-3
(v) m5n12(mn)9
हल:
(i) 10-2 × 10-5 = 10 – 2 – 5 = 10-7
(ii) 57 ÷ 54 = 57 – 4 = 53
(iii) 9-7 ÷ 94 = 9 – 7 – 4 = 9-11
(iv) (13-2)-3 = 13– 2 × (-3) = 136
(v) m5n12(mn)9 = m5n12m9n9 = m5 + 9n12 + 9 = m14n21
यदि 122 = 144, तो निम्न का मान क्या है?
(i) (1.2)2
(ii) (0.12)2
(iii) (0.012)2
(iv) 1202
हल:
(i) (1.2)2 = 1.44;
(ii) (0.12)2 = 0.0144
(iii) (0.012)2 = 0.000144;
(iv) 1202 = 14400
समान संख्याओं पर घेरा लगाइए-
24 × 36 64 ×32 610 182 × 62 624
हल:
निम्नलिखित विकल्पों में से प्रत्येक बड़ी संख्या को पहचानिए:
(i) 43 या 34 (ii) 28 या 82 (iii) 1002 या 2100
हल:
एक डेयरी एक वर्ष में दूध के 8.5 अरब पैकेट के उत्पादन की योजना बनाती है। वह प्रत्येक पैकेट पर एक विशिष्ट पहचान कोड ( आई.डी.) दर्शाना चाहती है। यदि वह इसके लिए 0 से 9 तक के अंकों का उपयोग करती है तो बताइए कि कोड कितने अंकों का होना चाहिए?
हल:
इसमें 10 अंक होने चाहिए, क्योंकि 109 < 8.5 बिलियन < 1010 है।
64 एक वर्ग संख्या (82) और एक घन संख्या (43) है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? क्या ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की कोई सामान्य विधि है?
हल:
हाँ। उदाहरणार्थ, 729 एक वर्ग संख्या (272) है तथा एक घन संख्या (93) है, इत्यादि। इन संख्याओं को (p3)2 और (p2)3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ P एक अभाज्य संख्या है।
एक डिजिटल लॉकर का 5 अक्षरांकीय (एल्फान्यूमेरिक) वाला ( इसमें अंक एवं अक्षर दोनों हो सकते हैं) गुप्त संकेत है जिसकी लंबाई 5 है। गुप्त संकेत (पासकोड) के कुछ उदाहरण G89PO, 38098, BRJKW और 003AZ हैं। इस प्रकार के कितने गुप्त संकेत संभव हैं?
हल:
अक्षरों और अंकों का योग 26 + 10 = 36 है।
इसलिए, लंबाई 5 के एक पासकोड के लिए संभव कोड = 36 × 36 × 36 × 36 × 36 = 365 हैं।
वर्ष (2024) में संपूर्ण विश्व में भेड़ों की संख्या लगभग 109 थी और बकरियों की संख्या भी लगभग भेड़ों के समान थी। बताइए कि भेड़ों और बकरियों की कुल संख्या कितनी थी?
(i) 209
(ii) 1011
(iii) 1010
(iv) 1018
(v) 2 × 109
(vi) 109 + 109
हल:
(v) 2 × 109 और
(vi) 109 + 109
गणना कीजिए और अपने उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
(i) यदि विश्व में प्रत्येक व्यक्ति के पास 30 वस्त्र हों तो वस्त्रों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) विश्व में लगभग 100 मिलियन मधुमक्खियों के छत्ते हैं। यदि प्रत्येक छत्ते में 50,000 मधुमक्खियाँ हों तो मधुमक्खियों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
(iii) मानव शरीर में लगभग 38 ट्रिलियन (380 खरब) जीवाणु कोशिकाएँ होती हैं। विश्व के सभी मानवों के शरीर में रहने वाले जीवाणुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) संपूर्ण जीवनकाल में खाने में व्यतीत किया गया कुल समय सेकंडों में ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) 30 × 8 × 109 = 240 × 109 = 2.4 × 1011
(ii) 100 × 50000 मिलियन मधुमक्खियाँ
= 5 × 106 मिलियन
(iii) 38 × 8 × 109 ट्रिलियन
= 304 × 109 ट्रिलियन
= 3.04 × 1011 ट्रिलियन जीवाणु कोशिकाएँ
(iv) 30 × 60 × 109 सेकंड
= 1800 × 109 सेकंड
= 1.8 × 1012 सेकंड यह परिकल्पना करते हुए कि एक व्यक्ति भोजन करने में प्रतिदिन आधे घंटे का समय लेता है।
आज से 1 बिलियन या 1 अरब सेकंड पूर्व क्या दिनांक थी?
हल:
1 बिलियन या 1 अरब पूर्व दिनों की संख्या
= =
= 1.157 × 104 दिन
= 11570 दिन
= वर्ष = 31.7 वर्ष
वर्ष 2026 – 31 = 1995 में दिनांक अनुमानित रूप से जून के माह में हो सकती है।
यह मई 1995 या जून 1995 या जुलाई 1995 में हो सकती है।
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